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第四讲 四点共圆问题

第四讲  四点共圆问题

 

“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现,这类问题一般有两种形式:一是以“四点共圆”作为证题的目的,二是以“四点共圆”作为解题的手段,为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法,用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种(即P89定理和P933),由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用.

1 “四点共圆”作为证题目的

1.给出锐角△ABC,以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于MN.AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于PQ.求证:MNPQ四点共圆.

(19届美国数学奥林匹克)

分析:设PQMN交于K点,连接APAM.

欲证MNPQ四点共圆,须证

MK·KNPK·KQ

即证(MC-KC)(MC+KC)

(PB-KB)·(PB+KB)

      MC2-KC2=PB2-KB2 .                   

不难证明 AP=AM,从而有

AB2+PB2=AC2+MC2.

MC2-PB2=AB2-AC2

              =(AK2-KB2)-(AK2-KC2)

              =KC2-KB2.                   

由②即得①,命题得证.

2ABC三点共线,O点在直线外,

O1O2O3分别为△OAB,△OBC

OCA的外心.求证:OO1O2

O3四点共圆.

(27届莫斯科数学奥林匹克)

分析:作出图中各辅助线.易证O1O2垂直平分OBO1O3垂直平分OA.观察△OBC及其外接圆,立得∠OO2O1= OO2B=OCB.观察△OCA及其外接圆,立得∠OO3O1= OO3A=OCA.

由∠OO2O1=OO3O1 OO1O2O3共圆.

利用对角互补,也可证明OO1O2O3四点共圆,请同学自证.

2 以“四点共圆”作为解题手段

这种情况不仅题目多,而且结论变幻莫测,可大体上归纳为如下几个方面.

(1)证角相等

3.在梯形ABCD中,ABDCABCDKM分别在ADBC上,∠DAM=∠CBK.

   求证:∠DMA=∠CKB.

(第二届袓冲之杯初中竞赛)

分析:易知ABMK四点共圆.连接KM

有∠DAB=∠CMK.∵∠DAB+ADC

180°,

   ∴∠CMK+KDC180°.

   故CDKM四点共圆 CMD=∠DKC.

   但已证∠AMB=∠BKA

   ∴∠DMA=∠CKB.

(2)证线垂直

4.⊙O过△ABC顶点AC,且与AB

BC交于KN(KN不同).ABC

外接圆和△BKN外接圆相交于B

M.求证:∠BMO=90°.

(26IMO第五题)

分析:这道国际数学竞赛题,曾使许多选手望而却步.其实,只要把握已知条件和图形特点,借助“四点共圆”,问题是不难解决的.

      连接OCOKMCMK,延长BMG.易得∠GMC=

BAC=BNK=BMK.而∠



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